Memahami Sifat Asosiatif dalam Operasi Hitung Matematika
Matematika adalah salah satu bidang studi yang sangat penting dalam kehidupan kita. Matematika memiliki peran penting dalam membantu kita memecahkan masalah, menyelesaikan pekerjaan, dan memahami dunia di sekitar kita. Di dalam matematika, terdapat berbagai macam operasi hitung seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun, ada satu sifat yang sangat penting dalam operasi hitung matematika, yaitu sifat asosiatif. Sifat asosiatif ini sangat penting untuk dipahami karena sangat sering digunakan dalam operasi hitung matematika secara umum.
Secara sederhana, sifat asosiatif adalah sifat yang memungkinkan kita untuk mengubah urutan pengelompokan bilangan dalam operasi hitung tanpa mengubah hasil akhir dari operasi tersebut. Artinya, ketika kita melakukan operasi hitung pada tiga atau lebih bilangan, maka hasil akhir yang diperoleh akan sama tidak peduli bagaimana bilangan-bilangan tersebut dielompokkan. Contoh sifat asosiatif dalam operasi hitung matematika adalah sebagai berikut:
1. Penjumlahan
Sifat asosiatif penjumlahan adalah sifat yang memungkinkan kita untuk mengubah urutan pengelompokan bilangan pada operasi penjumlahan tanpa mengubah hasil akhir dari operasi tersebut. Contohnya adalah bilangan 2, 3, dan 4. Jika kita menjumlahkan bilangan tersebut tanpa mengubah urutan pengelompokannya, maka akan didapatkan hasil 2 + 3 + 4 = 9. Namun, jika pengelompokannya diubah menjadi (2 + 3) + 4 atau 2 + (3 + 4), maka hasilnya tetap sama, yaitu 9.
2. Pengurangan
Sifat asosiatif pengurangan sama seperti sifat asosiatif penjumlahan. Artinya, urutan pengelompokan bilangan pada operasi pengurangan juga bisa diubah tanpa mengubah hasil akhirnya. Contohnya adalah bilangan 10, 5, dan 2. Jika kita melakukan operasi pengurangan pada bilangan tersebut, maka hasilnya adalah 10 – 5 – 2 = 3. Namun, jika urutan pengelompokannya diubah menjadi (10 – 5) – 2 atau 10 – (5 – 2), maka hasilnya tetap sama, yaitu 3.
3. Perkalian
Sifat asosiatif perkalian juga memungkinkan kita untuk mengubah urutan pengelompokan bilangan pada operasi perkalian tanpa mengubah hasil akhir dari operasi tersebut. Contohnya adalah bilangan 3, 4, dan 5. Jika kita melakukan operasi perkalian pada bilangan tersebut, maka hasilnya adalah 3 x 4 x 5 = 60. Namun, jika urutan pengelompokannya diubah menjadi (3 x 4) x 5 atau 3 x (4 x 5), maka hasilnya tetap sama, yaitu 60.
4. Pembagian
Seperti operasi hitung lainnya, sifat asosiatif pembagian juga memperbolehkan pengubahan urutan pengelompokan bilangan sehingga hasil akhirnya tetap sama. Contohnya adalah bilangan 20, 2, dan 5. Jika kita melakukan operasi pembagian pada bilangan tersebut, maka hasilnya adalah 20 / 2 / 5 = 2. Namun, jika urutan pengelompokannya diubah menjadi (20 / 2) / 5 atau 20 / (2 / 5), maka hasilnya tetap sama, yaitu 2.
Dari contoh-contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa sifat asosiatif sangat penting dalam operasi hitung matematika. Mengapa? Karena sifat ini mempermudah kita dalam melakukan operasi hitung pada bilangan-bilangan yang sangat besar dan rumit. Dengan adanya sifat asosiatif, kita dapat mengubah urutan pengelompokan bilangan sehingga mempermudah kita dalan menyelesaikan operasi hitung tersebut.
Untuk lebih memahami sifat asosiatif, terdapat beberapa latihan soal yang bisa Anda coba. Berikut adalah contoh soal latihan tentang sifat asosiatif dalam operasi hitung matematika:
1. (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4). Benar atau salah?
2. (10 + 5) + 8 = 10 + (5 + 8). Benar atau salah?
3. 40 – (10 – 3) = (40 – 10) – 3. Benar atau salah?
4. (7 / 2) / 5 = 7 / (2 x 5). Benar atau salah?
Dalam melakukan latihan soal, pastikan Anda memahami sifat asosiatif pada setiap operasi hitung matematika. Dengan begitu, Anda akan lebih cepat dan mudah dalam menyelesaikan soal-soal tersebut.
Kesimpulan
Sifat asosiatif adalah salah satu sifat yang sangat penting dalam operasi hitung matematika. Sifat ini memungkinkan kita untuk mengubah urutan pengelompokan bilangan dalam operasi hitung tanpa mengubah hasil akhir dari operasi tersebut. Contoh sifat asosiatif ada pada operasi hitung matematika yang terdiri dari empat jenis, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Memahami sifat asosiatif pada setiap operasi matematika sangat penting dalam mempermudah kita dalam menyelesaikan operasi hitung pada bilangan-bilangan yang sangat besar dan rumit.
Memahami Sifat Asosiatif dalam Operasi Hitung Matematika
Sifat asosiatif biasanya bisa ditemukan di dalam area aljabar dan bisa diterapkan pada dua jenis operasi yaitu penjumlahan dan perkalian. Jenis sifat matematika yang satu ini pastinya tidak tergantung pada cara dimana angka tersebut berada atau dikelompokkan. Hal ini berarti bahwa terlepas dari bagaimana angka-angka yang berbeda di dalam operasi yang diberikan disatukan, maka penjumlahan dan perkalian akan selalu memberikan hasil yang sama terlepas dari urutannya itu. Pengelompokan dengan cara tersebut tidak ada hubungannya dengan hasuil yang didapatkan dari operasi matematika.
Apa Itu Sifat Asosiatif?
Sifat asosiatif merupakan sebuah properti yang biasanya ada di dalam area aljabar dan bisa diterapkan pada operasi hitung perkalian dan penjumlahan. Dimana sifat asosiatif menunjukkan bahwa saat asa tiga angka atau lebih di dalam suatu operasi, maka hasilnya tidak akan tergantung pada cara dimana angka tersebut ditempatkan.
Sejarah Sifat Asosiatif
Pada tahun 1830 an, Perjanjian Aljabar diterbitkan dengan tujuan untuk upaya menjelaskan istilah tersebut sebagai perlakuan logis yang setara dengan unsur Euclid. Disini, terdapat dua jenis aljabar yang dijelaskan, yaitu aljabar aritmatika dan aljabar simbolis. Di dalam bukunya, ada sebuah penjelasan aljabar simbolis sebagai ilmu yang berkaitan dengan kombinasi tanda dan simbol bebas dengan cara yang diartikan oleh hukum arbitrer.
Dimana yang benar adalah bahwa sangat sulit untuk memberikan tanggal yang pasti mengenai kapan hal tersebut dibuat. Sebab, orang-orang sudah mengetahui bahwa misalnya 2+3+3+2 sejak zaman dahulu. Namun pada akhirnya orang-orang menyadari bahwa hal ini merupakan sifat umum yang bisa dihubungkan dengan operasi selain perkalian dan penjumlahan. Kemudian menjadi sesuatu yang menarik unruk dipelajari lebih dalam lagi. Bisa dikatakan bahwa tidak ada satupun orang yang membuat penemuan tersebut.
Sifat Asosiatif dalam Penjumlahan
Penjumlahan asosiatif atau sifat tambahan menjelaskan bahwa merubah urutan penambahan angka tidak akan mempengaruhi hasil dari penambahan tersebut. Sebab, penerapan sifat asosiatif dalam penjumlahan tidak dengan sendirinya mempunyai efek yang terlihat atau penting. Beberapa keraguan muncul mengenai kegunaan dan kepentingannya, tapi mempunyai pengetahuan mengenai prinsip tersebut dapat membantu kita untuk menguasai dengan sempurna semua operasi tersebut. Terlebih saat dikombinasikan dengan yang lainnya, seperti pengurangan dan juga pembagian. Terlebih lagi, dalam pembagian untuk mencapai penggunaan matematika yang benar.
Contoh soal:
Berikut ini adalah beberapa cara yang cukup mudah untuk dipahami, untuk kamu yang ingin memahami sifat asosiatif dalam penjumlahan, simak penjelasan lengkapnya di bawah ini ya:
(a + b) + c = a + (b + c) = d
Supaya lebih paham lagi, yuk simak contoh soal yang ada di bawah ini:
Ada sebuah soal (7 + 5) + 4 = ?
Pastinya kita akan mengerjakan soal ini dengan cara menjumlahkan terlebih dahulu bilangan yang ada di dalam kurung. Baru nanti hasilnya dijumlahkan dengan angka di luar kurung.
(7 + 5) + 4 =
12 + 4 = 16
Apabila kita menggunakan sifat asosiatif maka kita juga bisa mengerjakannya dengan cara sebagai berikut:
7 + (5 + 4) =
7 + 9 = 16
jadi, (7 + 5) + 4 = 7 + (5 + 4) = 16
Sifat Asosiatif Perkalian
Perkalian merupakan operasi hitng matematika yang mempunyai berbagai macam sifat. Salah satunya yaitu sifat yang ada di dalam kasus perkalian. Hal ini menunjukkan cara untuk pengelompokan faktor yang tidak akan menyebabkan semua jenis perubahan di dalam hasil akhir dari perkalian tersebut. Terlepas dari jumlah faktor yang ditemukan di dalam operasi.
Contoh Soal:
Ana memiliki 2 kotak mainan. Dimana setiap kotak akan diisi 3 bungkus kelereng. Setiap bungkus tersebut berisi 4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Ana? Ada dua cara yang bisa kamu gunakan untuk menghitung jumlah kelereng Ana.
Cara yang pertama yaitu dengan menghitung banyaknya bungkus. Lalu, hasilnya dikalikan dengan banyak kelereng yang ada di tiap bungkus.
Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus
(3 bungkus + 3 bungkus ) × 4 butir = (3 + 3) × 4 = (2 × 3) × 4 = 24 butir
Cara kedua menhitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu hasilnya dikalikan banyak kotak.
Banyak kotak × banyak kelereng = 2 × ( 4 + 4 + 4) = 2 × (3 × 4) = 24 butir.
Perhitungan cara I : (2 × 3) × 4
Perhitungan cara II : 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama.
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian. Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis :
(a × b ) × c = a × (b × c)
Dengan a, b, dan c bilangan bulat.
Contoh:
a. (2 × 4) × 3 = 2 × (4 × 3) = 24
b. (4 × 5) × 8 = 4 × (5 × 8) = 160
c. (4 × (-3)) × 6 = 4 × (-3 × 6) = – 72
d. (5 × (-2)) × 4 = 5 × (-2 × 4) = -40
e. (-3 × 2 ) × 8 = -3 × (2 × 8) = -48
f. (-4 × (-6)) × 10 = -4 × (-6 × 10) = 240
Contoh Soal:
Disini kita akan melakukan operasi: 5 x 4 x 2
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah dengan cara mengelompokkan dua angka pertama, dalam hal ini akan menjadi 5 dan 4. Dengan melakukan langkah yang satu ini, kita akan memperoleh persamaan sebagai berikut:
(5 x 4) x 2
20 x 2
40
Sekarang, apabila kita mengelompokkan 4 dan 2, kita akan memperoleh hasil sebagai berikut:
5 x (4 x 2)
5 x 8
40
Seperti bisa dilihat dengan jelas dalam operasi sebelumnya, walaupun pada kenyataannya angka-angkanya diposisikan berbeda, hasilnya akan tetap sama. Contoh lain yang bisa kamu pahami adalah sebagai berikut:
(2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5)
6 x 5 = 2 x 15
30 = 30
Rekomendasi Buku:
Deskripsi Buku:
Matematika merupakan ilmu dasar yang sangat berperan bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi serta memajukan daya pikir manusia. Kehadiran buku ini diharapkan dapat menambah referensi dan menjadi acuan bagi mahasiswa khususnya dan peminat matematika pada umumnya.
Deskripsi Buku:
Buku Logika & Matematika ini dapat digunakan sebagai buku ajar atau referensi yang menunjang pembelajaran mata kuliah Matematik Diskrit. Dengan mempelajari buku ini, mahasiswa diharapkan mampu meningkatkan kemampuannya dalam berpikir logis, kreatif, dan kritis. Kemampuan itu tentunya akan sangat berguna bagi mahasiswa/pembaca dalam menunjang pengembang sistem informasi, pengembang multimedia/game, dan kompetensi yang relevan.
Deskripsi Buku:
Ketika skor dan nilal hasil evaluasi anak didik klta dalam rentangan 4-5, maka menjadi peringatan bagi pendidik untuk meninjau ulang dan penataan kembali strategi pembelajaran, strategi evaluasi yang dipakal selama Inl, untuk kemudian melakukan peneltlan macam strategi apa yang sebenarnya tepat untuk anak didik. Peran pembaharuan pembelajaran inI baru blsa diangkat ke permukaan ketika data tentang hasil evaluasi belajar diinformasikan secara gamblang dan transparansi. Klta tidak lagi harus malu akan data hasil evaluasi apa adanya, karena hal itu demi untuk perbaikan ke depan bagi hasil yang kurang baik. Refleksi akan menarik untuk dilakukan para pendidlk deml menggapal cita-clta prestasi belajar siswa yang tinggi.
Deskripsi Buku:
Buku Pengantar Analisis Matematika untuk perguruan tinggi dapat digunakan oleh para mahasiswa dari berbagai jurusan, khususnya jurusan matematika. Analisis matematika menuntut para mahasiswa memahami lebih lanjut tentang teorema-teorema dalam matematika disertai pembuktiannya serta mampu memecahkan masalah-masalah baku (standard) dalam ilmu matematika secara analatis dan formal. Dalam berpikir deduktif dan beranalisis secara komprehensif, mahasiswa harus memiliki pemahaman dalam pengembangan konsep materi yang dipelajarinya.
Beberapa materi dari Pengantar Analisis Matematika ini merupakan pendalaman dari materi kuliah kalkulus yang dipelajari secara rigorous dan disesuaikan dengan silabus yang ada, khususnya pada jurusan matematika di perguruan tinggi. Dalam penyusunannya, penulis pun merujuk pada buku-buku terkait sebagai referensi.
